Em resumo:
- A ordem da matriz informa quantas linhas e colunas ela possui.
- Adição e multiplicação por escalar operam elemento a elemento; a multiplicação entre matrizes segue a regra de linha por coluna.
- Determinante e inversa se aplicam a matrizes quadradas.
Uma matriz organiza números em linhas e colunas para representar coeficientes, dados ou transformações de forma compacta.
Matrizes fazem parte do currículo de matemática do ensino médio e aparecem em avaliações oficiais que testam habilidades como resolver sistemas lineares.
Os dez exercícios a seguir foram organizados para praticar operações e conceitos fundamentais de matrizes.
Exercícios sobre matrizes
Questão 1
Considere as matrizes A = [[x, 3], [5, y]] e B = [[2, 3], [5, 7]]. Se A é igual a B, qual é o valor de x + y?
- a) 7
- b) 9
- c) 10
- d) 12
Questão 2
Sejam A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[5, 6], [7, 8]]. Qual é o resultado de A + B?
- a) [[6, 8], [10, 12]]
- b) [[6, 8], [10, 13]]
- c) [[5, 8], [10, 12]]
- d) [[6, 7], [10, 12]]
Questão 3
Seja A = [[2, -1], [0, 3]]. Qual é o resultado de 4A?
- a) [[8, -4], [0, 12]]
- b) [[8, -1], [0, 12]]
- c) [[6, -4], [0, 7]]
- d) [[8, -4], [0, 3]]
Questão 4
Sejam A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[2, 0], [1, 2]]. Qual é o resultado do produto AB?
- a) [[4, 4], [10, 8]]
- b) [[4, 4], [7, 8]]
- c) [[2, 4], [10, 8]]
- d) [[4, 0], [10, 8]]
Questão 5
Seja A = [[3, 5], [2, 4]]. Qual é o determinante de A?
- a) 2
- b) -2
- c) 22
- d) 7
Questão 6
Seja A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], uma matriz de ordem 2×3. Qual alternativa descreve corretamente a matriz transposta de A?
- a) A transposta tem ordem 3×2 e é igual a [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]
- b) A transposta tem ordem 2×3 e é igual a A
- c) A transposta tem ordem 3×2 e é igual a [[1, 2], [4, 5], [3, 6]]
- d) A não admite transposta porque não é quadrada
Questão 7
Seja A = [[2, 1], [1, 1]]. Qual é a matriz inversa de A?
- a) [[1, -1], [-1, 2]]
- b) [[1, 1], [1, 2]]
- c) [[-1, 1], [1, -2]]
- d) A não é invertível
Questão 8
Um sistema linear pode ser escrito como AX = B, com A = [[1, 2], [3, -1]] e B = [[5], [1]], representando as equações x + 2y = 5 e 3x − y = 1. Qual é a solução do sistema?
- a) x = 1 e y = 2
- b) x = 2 e y = 1
- c) x = -1 e y = 3
- d) x = 3 e y = -1
Questão 9
Uma matriz de vendas organiza, nas linhas, dois produtos (P1 e P2) e, nas colunas, três meses (janeiro, fevereiro e março): V = [[10, 15, 20], [5, 8, 12]]. Qual é o total vendido do produto P2 ao longo dos três meses?
- a) 20
- b) 25
- c) 30
- d) 45
Questão 10
Uma matriz quadrada de ordem 3 tem determinante igual a 4. Se uma das linhas dessa matriz for multiplicada por 3, qual passa a ser o determinante da nova matriz?
- a) 4
- b) 12
- c) 36
- d) 1/3
Gabarito: resposta e resolução comentada de cada questão
Cada resolução abaixo foi conferida repetindo a operação central pedida no enunciado, o que permite comparar o próprio raciocínio com o passo decisivo de cada questão.
| Questão | Resposta | Resolução resumida |
|---|---|---|
| 1 | b) 9 | Da igualdade A = B, x = 2 e y = 7; logo x + y = 9. |
| 2 | a) [[6, 8], [10, 12]] | Soma-se cada posição correspondente: 1+5, 2+6, 3+7 e 4+8. |
| 3 | a) [[8, -4], [0, 12]] | Multiplica-se cada elemento de A por 4. |
| 4 | a) [[4, 4], [10, 8]] | Multiplica-se linha por coluna: (1×2+2×1, 1×0+2×2) na primeira linha e (3×2+4×1, 3×0+4×2) na segunda. |
| 5 | a) 2 | det(A) = 3×4 − 5×2 = 12 − 10 = 2. |
| 6 | a) [[1, 4], [2, 5], [3, 6]] | A transposta troca linhas por colunas, resultando em ordem 3×2. |
| 7 | a) [[1, -1], [-1, 2]] | det(A) = 2×1 − 1×1 = 1; a inversa é obtida dividindo a matriz adjunta pelo determinante. |
| 8 | a) x = 1 e y = 2 | Substituindo x = 5 − 2y na segunda equação: 3(5−2y) − y = 1, logo y = 2 e x = 1. |
| 9 | b) 25 | Soma-se a linha de P2: 5 + 8 + 12 = 25. |
| 10 | b) 12 | Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante pelo mesmo escalar: 4 × 3 = 12. |
Perguntas frequentes sobre exercícios de matrizes
O que é uma matriz, de forma simples?
É uma tabela de números organizada em linhas e colunas, usada para representar dados, coeficientes de equações ou transformações de forma compacta. Cada elemento é localizado por sua linha e sua coluna.
Quais tipos de matriz aparecem com mais frequência nos exercícios?
Os mais comuns são a matriz quadrada, a matriz identidade, a matriz transposta e a matriz inversa. Eles costumam aparecer combinados com operações básicas, como nos exercícios 6 e 7 desta lista.
Quando a multiplicação entre duas matrizes é possível?
A multiplicação AB só é definida quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Se essa condição não for satisfeita, a operação não existe, independentemente do tamanho das matrizes.
Esses exercícios são iguais aos que caem no Enem ou em vestibulares?
Não. As dez questões desta lista são autorais e foram criadas para praticar os mesmos tipos de operação que aparecem nesse tipo de avaliação, mas não reproduzem nem representam nenhum enunciado oficial específico.
Como calcular rapidamente o determinante de uma matriz 2×2?
Basta multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair o produto dos elementos da diagonal secundária, como no cálculo do exercício 5: 3×4 menos 5×2.
Qual é a diferença entre matriz transposta e matriz inversa?
A transposta troca linhas por colunas da própria matriz, sem depender de cálculo algébrico. A inversa é outra matriz que, multiplicada pela original, resulta na matriz identidade, e só existe quando o determinante é diferente de zero.
Toda matriz quadrada tem inversa?
Não. Uma matriz quadrada só tem inversa quando o determinante é diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz é chamada de singular e não admite inversa.
Como as matrizes ajudam a resolver sistemas lineares?
Um sistema linear pode ser escrito na forma AX = B, em que A reúne os coeficientes, X as variáveis e B os resultados. Resolver o sistema equivale a encontrar X, como mostrado no exercício 8.
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