Em resumo:
- A lista reúne 10 exercícios organizados em quatro blocos: princípio fundamental da contagem, permutação, arranjo e combinação.
- Cada exercício tem enunciado e cinco alternativas; a resposta e a justificativa ficam reunidas no gabarito comentado, ao final do artigo.
- A ordem dos blocos acompanha a complexidade crescente das fórmulas, começando pelo raciocínio multiplicativo.
Análise combinatória é a área da matemática que reúne técnicas para contar, de forma organizada, o número de possibilidades em situações do dia a dia sem precisar listar cada caso um a um.
A base é o princípio fundamental da contagem: quando uma escolha é feita em etapas sucessivas e independentes, o total de possibilidades é o produto do número de opções de cada etapa.
Várias fórmulas de contagem dependem do fatorial de um número, que é o produto desse número por todos os inteiros positivos menores que ele; esse cálculo aparece na permutação, no arranjo e na combinação. Esses conceitos orientam os dez exercícios a seguir.
Exercícios sobre análise combinatória
Exercício 1. Uma senha bancária tem 4 dígitos distintos, escolhidos entre 0 e 9, e o primeiro dígito não pode ser zero. Quantas senhas diferentes podem ser formadas?
- a) 4.536
- b) 5.040
- c) 9.000
- d) 3.024
- e) 6.561
Exercício 2. Um restaurante oferece 3 entradas, 4 pratos principais e 2 opções de sobremesa. De quantas maneiras um cliente pode montar uma refeição completa escolhendo um item de cada categoria?
- a) 9
- b) 24
- c) 20
- d) 18
- e) 12
Exercício 3. Um sistema de cadastro de biblioteca usa um código formado por 2 letras seguidas de 3 algarismos, podendo repetir letras e algarismos. Quantos códigos diferentes podem ser gerados?
- a) 676.000
- b) 67.600
- c) 6.760.000
- d) 260.000
- e) 1.000.000
Exercício 4. Uma estante tem espaço para 5 livros diferentes, todos distintos entre si. De quantas formas esses livros podem ser organizados na estante, um ao lado do outro?
- a) 120
- b) 24
- c) 60
- d) 625
- e) 720
Exercício 5. Quantos anagramas diferentes podem ser formados com todas as letras da palavra BANANA?
- a) 60
- b) 720
- c) 120
- d) 360
- e) 180
Exercício 6. Uma corrida tem 8 competidores. De quantas formas diferentes é possível definir quem chega em 1º, 2º e 3º lugar?
- a) 336
- b) 56
- c) 512
- d) 168
- e) 720
Exercício 7. Um sistema de acesso usa senhas de 3 letras distintas, escolhidas entre 5 letras específicas definidas pelo sistema, em que a ordem das letras importa. Quantas senhas diferentes podem ser criadas?
- a) 60
- b) 10
- c) 125
- d) 20
- e) 15
Exercício 8. Uma equipe de 3 pessoas será escolhida entre 10 candidatos, sem distinção de função entre os escolhidos. De quantas formas essa equipe pode ser formada?
- a) 120
- b) 720
- c) 1.000
- d) 30
- e) 210
Exercício 9. Uma sorveteria oferece 6 sabores e permite montar uma casquinha com 2 sabores diferentes, sem repetição e sem distinção de ordem entre eles. Quantas combinações de sabores são possíveis?
- a) 15
- b) 30
- c) 12
- d) 36
- e) 6
Exercício 10. Uma turma tem 12 alunos, e uma comissão de 4 alunos será formada para representar a turma, sem cargos definidos entre eles. De quantas formas essa comissão pode ser escolhida?
- a) 495
- b) 11.880
- c) 48
- d) 990
- e) 1.980
Gabarito comentado dos 10 exercícios
As respostas abaixo foram calculadas de forma independente para cada exercício desta lista; antes de usar essas respostas em qualquer avaliação, refaça o cálculo, pois listas de exercícios podem conter divergências de gabarito.
- Alternativa a) 4.536 — princípio fundamental da contagem: 9 opções para o 1º dígito (sem zero), 9 para o 2º, 8 para o 3º e 7 para o 4º (9×9×8×7).
- Alternativa b) 24 — princípio fundamental da contagem: 3 entradas × 4 pratos × 2 sobremesas.
- Alternativa a) 676.000 — princípio fundamental da contagem com repetição: 26×26 letras × 10×10×10 algarismos.
- Alternativa a) 120 — permutação simples de 5 elementos distintos: 5! = 5×4×3×2×1.
- Alternativa a) 60 — permutação com repetição: 6!/(3!×2!), pois a letra A aparece 3 vezes e a letra N aparece 2 vezes.
- Alternativa a) 336 — arranjo de 8 elementos tomados 3 a 3: 8×7×6.
- Alternativa a) 60 — arranjo de 5 elementos tomados 3 a 3: 5×4×3.
- Alternativa a) 120 — combinação de 10 elementos tomados 3 a 3: 10!/(3!×7!).
- Alternativa a) 15 — combinação de 6 elementos tomados 2 a 2: 6!/(2!×4!).
- Alternativa a) 495 — combinação de 12 elementos tomados 4 a 4: 12!/(4!×8!).
Perguntas frequentes sobre exercícios de contagem
Qual a diferença entre arranjo e combinação?
No arranjo, a ordem dos elementos escolhidos altera o resultado, como em um pódio ou em uma senha; na combinação, a ordem não importa, como em uma equipe ou em uma comissão sem cargos definidos.
Quando devo usar permutação em vez de arranjo ou combinação?
Use permutação quando todos os elementos disponíveis participam do agrupamento e a ordem entre eles é o que diferencia uma possibilidade da outra, como organizar todos os livros de uma estante.
O que é fatorial e para que ele serve nos exercícios de contagem?
Fatorial é o produto de um número por todos os inteiros positivos menores que ele; ele aparece nas fórmulas de permutação, arranjo e combinação porque essas fórmulas contam sequências de escolhas decrescentes.
Como o princípio fundamental da contagem se aplica no dia a dia?
Ele se aplica sempre que uma decisão é tomada em etapas sucessivas e independentes, como escolher entrada, prato principal e dessert, ou montar um código com letras e números.
Essa lista de exercícios cobre alguma habilidade do currículo do Ensino Médio?
Sim: os exercícios de princípio fundamental da contagem, arranjo e combinação estão alinhados à habilidade curricular que trata da resolução de problemas de contagem por meio de princípios multiplicativo e aditivo no Ensino Médio.
Como usar esta lista de exercícios para estudar de forma eficiente?
Resolva os exercícios na ordem em que aparecem, identificando antes de cada um se a ordem dos elementos importa; só depois confira a resposta no gabarito comentado.
Por que o gabarito comentado ajuda mais do que apenas a resposta certa?
Porque a justificativa mostra qual fórmula foi aplicada e por quê, permitindo identificar se o erro veio da fórmula escolhida ou apenas de um cálculo aritmético.
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