CONJUNTOS – Parte 2

A DIFERENÇA de B com A resulta num novo conjunto contendo os elementos de B que não pertençam a A, ou seja, B – A = {6, 7}.

EQUIVALÊNCIA DE CONJUNTOS

Dois conjuntos são considerados equivalentes quando podem ser colocados numa correspondência de um-para-um, ou seja, para cada elemento do primeiro conjunto há um elemento correspondente no segundo conjunto.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Conjuntos finitos possuem um número conhecido de elementos. Conjuntos finitos equivalentes (veja acima) possuem o mesmo número de elementos.

Um conjunto infinito é um conjunto equivalente a um subconjunto próprio dele mesmo.

Aiiii  – esta doeu! Por exemplo, o conjunto dos números inteiros é um conjunto infinito equivalente ao conjunto dos números inteiros pares – um subconjunto próprio dele mesmo. A função f(n)=2n é uma função um-para-um de todos os inteiros para os inteiros pares.

Esta definição tem algumas consequências curiosas. Por exemplo, imagine um hotel com um número infinito de apartamentos numerados 1, 2, 3, 4, …, e que esteja lotado (todos os apartamentos têm hóspedes). Mesmo neste caso ainda existe um apartamento para um novo hóspede!

Tudo o que precisamos fazer é mudar cada hóspede para o apartamento seguinte (1 vai para 2, 2 para 3, …, n para n+1). Na realidade, mesmo estando lotado, este hotel ainda possui vagas para todos os que já estejam hospedados. Apenas precisamos mudar 1 para 2, 2 para 4, 3 para 6, …, n para 2n para liberar os apartamentos 1, 3, 5,…

O final da história é que “o número de” elementos num conjunto infinito (sua cardinalidade) não se comporta como o de um conjunto finito.

Conjuntos infinitos são divididos em dois tipos: enumeráveis e não enumeráveis.

Os conjuntos infinitos enumeráveis (contáveis) são aqueles que são equivalentes a um subconjunto de números inteiros. Não há dúvida de que os números inteiros positivos, os números primos e os compostos, sejam contáveis. Da mesma forma, os números racionais, o conjunto de polinômios com coeficientes inteiros e até mesmo os números algébricos são enumeráveis.

Os conjuntos não enumeráveis (não contáveis) incluem os números reais, complexos, irracionais, transcendentais e o conjunto das potências de qualquer conjunto infinito enumerável.

Para os interessados em criptografia e criptoanálise, seguem alguns exemplos dos conjuntos mais comuns na criptologia:

Além disso, para cada chave k K corresponde uma regra de encriptação e uma regra de decifração, que podem ser expressas por:

Por: Escolinha da Aldeia