Em resumo:
- Os dez exercícios avançam do sistema 2×2 direto até problemas contextualizados e sistemas 3×3.
- Os métodos de substituição e adição resolvem a maior parte das questões básicas e intermediárias sem cálculos longos.
- Cada questão traz alternativas e a resposta correta indicada, permitindo conferir o próprio raciocínio sem depender de gabarito externo.
- As questões finais tratam da classificação de sistemas em possível determinado, possível indeterminado ou impossível, um ponto frequente em provas.
Um sistema linear é um conjunto de equações de primeiro grau que compartilham as mesmas incógnitas.
Resolver o sistema significa encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo, e não apenas uma delas isoladamente.
A seguir, listamos dez exercícios organizados em três blocos de dificuldade crescente, cada um com enunciado, quatro alternativas e a resposta correta indicada de forma objetiva.
Exercícios sobre sistemas lineares
Exercício 1
Qual é a solução do sistema formado por x + y = 10 e x − y = 2?
- a) x = 5, y = 5
- b) x = 6, y = 4
- c) x = 4, y = 6
- d) x = 7, y = 3
Resposta correta: alternativa b. Somando as duas equações obtém-se 2x = 12, logo x = 6; substituindo em x + y = 10 resulta y = 4.
Exercício 2
Qual é a solução do sistema formado por 2x + y = 11 e x − y = 1?
- a) x = 3, y = 5
- b) x = 4, y = 3
- c) x = 5, y = 1
- d) x = 2, y = 7
Resposta correta: alternativa b. Somando as duas equações obtém-se 3x = 12, logo x = 4; substituindo em x − y = 1 resulta y = 3.
Exercício 3
Qual é a solução do sistema formado por 3x − 2y = 4 e x + y = 3?
- a) x = 2, y = 1
- b) x = 1, y = 2
- c) x = 3, y = 0
- d) x = 0, y = 3
Resposta correta: alternativa a. Isolando x na segunda equação (x = 3 − y) e substituindo na primeira, obtém-se 9 − 5y = 4, logo y = 1 e x = 2.
Exercício 4
Qual é a solução do sistema formado por 4x + 3y = 18 e 2x − y = 4?
- a) x = 3, y = 2
- b) x = 2, y = 3
- c) x = 4, y = 1
- d) x = 1, y = 4
Resposta correta: alternativa a. Isolando y na segunda equação (y = 2x − 4) e substituindo na primeira, obtém-se 10x = 30, logo x = 3 e y = 2.
Exercício 5
A soma das idades de Marina e Pedro é 40 anos. Marina tem 6 anos mais que Pedro. Quais são as idades de cada um?
- a) Marina 20, Pedro 20
- b) Marina 23, Pedro 17
- c) Marina 17, Pedro 23
- d) Marina 25, Pedro 15
Resposta correta: alternativa b. Com M + P = 40 e M = P + 6, a substituição leva a 2P + 6 = 40, logo P = 17 e M = 23.
Exercício 6
Duas canetas e três lápis custam R$ 16. Uma caneta e um lápis custam R$ 7. Qual é o preço de cada item?
- a) caneta R$ 5, lápis R$ 2
- b) caneta R$ 4, lápis R$ 3
- c) caneta R$ 3, lápis R$ 4
- d) caneta R$ 6, lápis R$ 1
Resposta correta: alternativa a. Isolando a caneta na segunda equação (c = 7 − l) e substituindo na primeira, obtém-se 14 + l = 16, logo l = 2 e c = 5.
Exercício 7
Uma solução A tem concentração de 10% de determinado soluto e uma solução B tem 40%. Misturando x litros de A com y litros de B, obtêm-se 10 litros de uma solução com 25% de concentração. Quantos litros de cada solução são necessários?
- a) 5 L de A e 5 L de B
- b) 6 L de A e 4 L de B
- c) 4 L de A e 6 L de B
- d) 7 L de A e 3 L de B
Resposta correta: alternativa a. Com x + y = 10 e 0,10x + 0,40y = 2,5, a subtração das equações leva a 3y = 15, logo y = 5 e x = 5.
Exercício 8
Qual é a solução (x, y, z) do sistema formado por x + y + z = 6, x − y + z = 2 e 2x + y − z = 1?
- a) (1, 2, 3)
- b) (2, 1, 3)
- c) (3, 2, 1)
- d) (1, 3, 2)
Resposta correta: alternativa a. Subtraindo a segunda equação da primeira obtém-se 2y = 4, logo y = 2; combinando esse valor com as outras duas equações chega-se a x = 1 e z = 3.
Exercício 9
Considere o sistema formado por 2x + 3y = 5 e 4x + 6y = k. Para qual valor de k o sistema é possível e indeterminado, ou seja, admite infinitas soluções?
- a) k = 5
- b) k = 8
- c) k = 10
- d) k = 12
Resposta correta: alternativa c. Como a segunda equação é o dobro da primeira apenas nos coeficientes de x e y, o sistema só passa a ter infinitas soluções quando o termo independente também dobra, ou seja, quando k = 10. Para qualquer outro valor de k, as equações representam retas paralelas e o sistema é impossível.
Exercício 10
Uma fábrica produz dois itens, X e Y. Cada unidade de X consome 2 horas de trabalho e cada unidade de Y consome 3 horas, dentro de uma jornada de 30 horas. A fábrica deve produzir exatamente 12 unidades somando os dois itens, usando toda a capacidade disponível. Quantas unidades de X e Y satisfazem essa condição?
- a) x = 6, y = 6
- b) x = 8, y = 4
- c) x = 4, y = 8
- d) x = 10, y = 2
Resposta correta: alternativa a. Com x + y = 12 e 2x + 3y = 30, isolando x na primeira equação (x = 12 − y) e substituindo na segunda, obtém-se 24 + y = 30, logo y = 6 e x = 6.
Perguntas frequentes sobre sistemas lineares
As perguntas abaixo reúnem dúvidas comuns de quem está revisando sistemas lineares para provas e vestibulares, com respostas diretas para consulta rápida.
Quais métodos são mais usados para resolver sistemas lineares em provas?
Substituição e adição costumam ser os métodos mais rápidos para sistemas de duas equações, porque exigem poucos passos algébricos. Para sistemas de três equações, como no exercício 8, combinar adição e substituição em etapas sucessivas geralmente é mais direto do que aplicar a regra de Cramer manualmente.
Como saber se um sistema linear não tem solução?
Um sistema é impossível quando as equações representam retas ou planos paralelos que nunca se cruzam. Isso acontece quando os coeficientes das incógnitas são proporcionais entre as equações, mas os termos independentes não seguem essa mesma proporção, como discutido no exercício 9.
O que é um sistema possível e indeterminado?
É um sistema em que todas as equações representam a mesma reta, plano ou relação, de modo que qualquer ponto dessa relação é solução. Nesse caso existem infinitas soluções, e não apenas uma, como ocorre quando o termo independente também mantém a proporção entre as equações.
Como conferir se a resposta de um sistema linear está correta?
Basta substituir os valores encontrados em todas as equações originais, uma por uma, e verificar se cada igualdade se mantém verdadeira. Se qualquer equação não se confirmar com os valores encontrados, é sinal de erro de cálculo ou de manipulação algébrica em algum passo anterior.
Sistemas lineares com três incógnitas aparecem com frequência em vestibulares?
Sistemas de três equações e três incógnitas são menos comuns do que os de duas equações, mas aparecem em questões que exigem mais etapas de eliminação, como no exercício 8. Dominar a eliminação passo a passo entre pares de equações ajuda a resolver esse tipo de questão sem depender de fórmulas prontas.
É preciso usar a regra de Cramer para resolver todo sistema linear?
Não. A regra de Cramer é útil quando se quer isolar apenas uma incógnita rapidamente ou quando o sistema já está organizado em forma de matriz, mas substituição e adição resolvem a maioria dos sistemas de duas ou três equações sem a necessidade de calcular determinantes.
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