Em resumo:
- Toda equação do 2º grau tem no máximo duas raízes reais, e o sinal do discriminante indica quantas existem.
- Equações incompletas, sem o termo b ou sem o termo c, podem ser resolvidas sem a fórmula de Bhaskara.
- A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação completa, mas exige identificar corretamente a, b e c antes de calcular Δ.
- Problemas de área e outras situações práticas costumam se traduzir em uma equação do 2º grau antes de serem resolvidos.
Praticar equações do 2º grau com questões resolvidas passo a passo ajuda a consolidar o que muitas vezes fica só na teoria: reconhecer os coeficientes, escolher o método certo e conferir se a resposta faz sentido.
O tema aparece com frequência em vestibulares, o que reforça a importância de treinar diferentes formatos de questão antes da prova.
Exercícios sobre equação do 2º grau
Questão 1. Na equação 2x² − 5x + 3 = 0, os coeficientes a, b e c são, respectivamente:
a) 2, −5, 3
b) 2, 5, 3
c) −2, 5, −3
d) 2, −5, −3
e) 5, 2, 3
Resposta: alternativa a. Os coeficientes são lidos diretamente na forma ax² + bx + c = 0: o termo que multiplica x² é a, o que multiplica x é b, e o termo isolado é c, mantendo o sinal que aparece na equação.
Questão 2. Quantas raízes reais distintas tem a equação x² − 4x + 3 = 0, e quais são elas?
a) Duas raízes reais distintas, x = 1 e x = 3
b) Uma raiz real, x = 2
c) Duas raízes reais distintas, x = −1 e x = −3
d) Nenhuma raiz real
e) Duas raízes reais distintas, x = 2 e x = 6
Resposta: alternativa a. Substituindo x = 1 e x = 3 na equação, ambos os valores tornam a expressão igual a zero, confirmando que são as duas raízes reais da equação.
Questão 3. Qual é o conjunto solução de 3x² − 27 = 0?
a) x = 3 ou x = −3
b) x = 9 ou x = −9
c) x = 3 (raiz única)
d) x = −3 (raiz única)
e) A equação não tem solução real
Resposta: alternativa a. Isolando x², obtém-se x² = 9. Portanto, as soluções reais são x = 3 ou x = −3.
Questão 4. Qual é o conjunto solução de x² − 7x = 0?
a) x = 0 ou x = 7
b) x = 0 ou x = −7
c) x = 7 (raiz única)
d) x = 0 (raiz única)
e) A equação não tem solução real
Resposta: alternativa a. Colocando x em evidência, a equação se torna x(x − 7) = 0. Assim, x = 0 ou x = 7.
Questão 5. Quais são as raízes de x² − 3x − 4 = 0?
a) x = 4 ou x = −1
b) x = −4 ou x = 1
c) x = 4 ou x = 1
d) x = −4 ou x = −1
e) A equação não tem raízes reais
Resposta: alternativa a. Com a = 1, b = −3 e c = −4, Δ = 9 + 16 = 25. Aplicando a fórmula, x = (3 ± 5) / 2, o que resulta em x = 4 ou x = −1.
Questão 6. Quais são as raízes de 2x² + x − 3 = 0?
a) x = 1 ou x = −3/2
b) x = −1 ou x = 3/2
c) x = 1 ou x = 3/2
d) x = −1 ou x = −3/2
e) A equação não tem raízes reais
Resposta: alternativa a. Com a = 2, b = 1 e c = −3, Δ = 1 + 24 = 25. Assim, x = (−1 ± 5) / 4, o que dá x = 1 ou x = −3/2.
Questão 7. Quais são as raízes de x² − 6x + 9 = 0?
a) x = 3 (raiz única, com multiplicidade 2)
b) x = 3 ou x = −3
c) x = 9 (raiz única)
d) x = −3 (raiz única)
e) A equação não tem raízes reais
Resposta: alternativa a. Com a = 1, b = −6 e c = 9, Δ = 36 − 36 = 0. Quando Δ é zero, a equação tem uma única raiz real, dada por x = −b / (2a) = 3.
Questão 8. Sem resolver a equação, quantas raízes reais tem 4x² − 4x + 1 = 0?
a) Uma raiz real (raiz dupla)
b) Duas raízes reais distintas
c) Nenhuma raiz real
d) Três raízes reais
e) Impossível determinar sem resolver a equação
Resposta: alternativa a. Com a = 4, b = −4 e c = 1, Δ = 16 − 16 = 0. Δ igual a zero indica uma única raiz real.
Questão 9. Sem resolver a equação, quantas raízes reais tem x² + 2x + 5 = 0?
a) Nenhuma raiz real
b) Uma raiz real
c) Duas raízes reais distintas
d) Duas raízes reais iguais
e) Impossível determinar sem resolver a equação
Resposta: alternativa a. Com a = 1, b = 2 e c = 5, Δ = 4 − 20 = −16. Δ negativo indica que a equação não tem raízes reais.
Questão 10. Um terreno rectangular tem comprimento 4 metros maior que a largura. Se a área do terreno é 96 m², qual é a largura, em metros?
a) 8 m
b) 12 m
c) 6 m
d) 10 m
e) 4 m
Resposta: alternativa a. Chamando a largura de x, o comprimento é x + 4, e a área é x(x + 4) = 96, o que gera a equação x² + 4x − 96 = 0. Com a = 1, b = 4 e c = −96, Δ = 16 + 384 = 400, e x = (−4 ± 20) / 2. A solução negativa não tem sentido para uma medida de largura, então x = 8 m.
Perguntas frequentes sobre equações do 2º grau
As perguntas a seguir retomam pontos já usados na resolução dos dez exercícios, sem introduzir informação nova além do que foi apresentado.
Qual a diferença entre equação completa e incompleta do 2º grau?
Uma equação completa tem os três termos, ax², bx e c, todos diferentes de zero. Uma equação incompleta tem b = 0, c = 0, ou ambos, o que permite resolvê-la sem a fórmula de Bhaskara, como nos exercícios 3 e 4.
Como resolver uma equação do tipo ax² + c = 0 sem usar Bhaskara?
Basta isolar x², dividindo por a, e depois extrair a raiz quadrada dos dois lados, lembrando que um número positivo tem duas raízes quadradas reais, uma positiva e uma negativa.
Quando vale a pena usar soma e produto em vez da fórmula de Bhaskara?
A relação de soma e produto costuma ser mais rápida quando os coeficientes são simples e é possível identificar de cabeça dois números cuja soma seja −b/a e cujo produto seja c/a. Para coeficientes menos convenientes, a fórmula de Bhaskara é o caminho mais direto.
O que significa quando o discriminante (Δ) é negativo?
Significa que a equação não tem raízes reais, como mostrado no exercício 9. Isso ocorre porque, no cálculo da fórmula de Bhaskara, seria necessário extrair a raiz quadrada de um número negativo dentro do conjunto dos números reais.
Por que equações do 2º grau aparecem em provas como o Enem?
Elas aparecem porque conectam álgebra e geometria a situações práticas, como o problema de área do exercício 10. Ainda assim, a frequência exata em cada edição de uma prova específica varia e não é o foco deste artigo.
É possível uma equação do 2º grau ter só uma raiz real?
Sim, isso acontece quando o discriminante é igual a zero, como no exercício 7. Nesse caso, a equação tem uma raiz real única, também chamada de raiz dupla.
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