ANÁLISE COMBINATÓRIA – Parte 2

Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, …, rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, …, sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, …, cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1, c2, c3, c4, c5, …, cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, …, cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, …, cm-2, cm-1, cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)…(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,

IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5×5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,

IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) … (m-p+1) … 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!,    0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,

MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,

OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)…(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). … .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)…(m-p+1)]/[(1.2.3.4….(p-1)p]

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)…3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2)…..(m-p+1)(m-p)(m-p-1)…3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes: